左手首が痛みます。ロキソニンでは痛みが止まりません。

ご心配のことと存じます。
石灰による関節炎や腱炎なら、ロキソニンなどの消炎鎮痛剤を使用することで、だいたい数日で収まりますが、それでも改善しない場合にはステロイドの内服や注射が効果的ですので、痛みが引いてないようでしたら、整形外科に再診してもらってくださいね。
それまでは基本的な安静が良いので、とりあえずは包帯やサポーターを使って手首をできるだけ使わないようにしてもらってください。

石灰沈着性関節炎や腱板炎などが考えられます（偽痛風）。
鎮痛消炎剤の内服以外にプレドニンなどのステロイドの内服薬、ステロイド剤の注射などは奏効しますので、再受診してご相談ください。
また、即効性はありませんが、シメジチンやファモチジンなどのH2ブロッカーには石灰を溶かす作用があります。

石灰沈着による痛みということですが、痛みが強く出ることがあります。
ただ消炎鎮痛剤は有効なことが多く、服用していくことで徐々に治まっていくかと思います。

石灰を破壊する衝撃波の
器械が今、話題です。かかりつけ医に
設置している医療機関をお聞きください。

石灰沈着であれば、ステロイド注射を検討されてもいいと考えます。