黒目に白い点が出来て痛い、市販の目薬を応急処置として使用しても良いでしょうか。

通常点状表層角膜症で角膜が肉眼で見えるほど白くなるような事はあまりないように思いますが、角膜浸潤などかもしれませんね。

点状表層角膜症程度の軽いものであれば、市販のヒアレイン点眼薬を試してみると良いと思いますが、白濁までしていると言うことであれば、市販薬では対処が難しいように思います。ヘルペスも疑われると言うことであれば、眼科で診ていただいた方が良いでしょう。

白い点だと、点状表層角膜症では無いと思います。点状表層角膜症は肉眼では見えません。
たとえば、細菌・真菌・アカントアメーバ感染などの、感染巣などが考えられるので、早めに眼科にかかった方が良いと思います。
ヘルペスは樹枝状の潰瘍などになるので、点状という表現にはならないと思います。

角膜の表面に傷ができ、周囲が白濁している状態と思われます。

正確なことは診察しないとわかりませんが、仮にヘルペスだった場合は抗ウィルス薬が必要です。

それ以外のものであれば通常、抗菌剤とヒアルロン酸などが処方されることが一般的です。

ご心配のことと思います。
角膜の異状は眼科医の診察を受けるべきです。眼科休日診を受診して下さい。